今天，Levent Alpöge 和我公开了三个结果：在光滑外力作用下，不可压缩多孔介质方程、Boussinesq 方程和三维不可压缩 Euler 方程的有限时间爆破。

我们相信，我们也得到了低耗散（hypo-dissipative）Navier-Stokes 方程的爆破。那篇论文今天不发：和上面几项不同，它的 Lean 验证还没有完成，我们也还没有任何称得上能拿出来的书面稿。我提到它，是因为它暗示了一条通向无外力 Euler 方程的路。

这项工作所属的研究纲领，不是我们开创的，也不是大语言模型提出的。这个纲领的基本思想，功劳归于 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa，他们多年来一直在探索如何构造有外力的爆破。我们以他们的工作为起点，借助大语言模型把他们的纲领推到了终点。

具体来说，Levent 和我做的，是拿 Córdoba 和 Martínez-Zoroa 的纲领（它在粗糙外力下得到了爆破结果），在 LLM 的大量帮助下，把它推进到光滑外力，并推进到不可压缩 Euler 方程。让这条进攻路线成为可能的想法，归功于 Córdoba 和 Martínez-Zoroa。让我把私下对同行说过的话公开说清楚：鉴于这一整套工作，我认为 Luis Martínez-Zoroa 配得上菲尔兹奖。

我和 Levent 的合作纯属个人之间的合作，没有任何机构协议，我们双方的雇主也都没有正式参与。整个过程中我们用了几种 LLM：Anthropic 的 Claude，OpenAI 的 Codex（尤其是配合 GPT-5.6 Sol），以及最近的 Astra。Astra 只用于撰写书面稿和审查我们的论证。

过去一年的大部分时间里，进展很慢。我们把文献过了一遍，改进了各种初步结果，一直做到得出不可压缩多孔介质方程（带光滑外力）的有限时间爆破。直到大约一个月前，我们才有了真正的突破：8 月 15 日，我们得到了 Boussinesq 和 Euler 两者在光滑外力下的爆破结果。我可以说，Levent 发给我的第一份 LLM 生成的证明，是我读过最可怕的；8 月 22 日，我们在 Lean 上验证了它。从那时起，我们一直在昼夜不停地理解这份证明，把它变成可读的东西。

这个故事还有另一部分，老实说，我非常希望自己不必为它操心。我对这些论文的呈现质量并不满意。理想情况下，我们本想花上几周，把 LLM 生成的证明从第一页起就改写得可读。这些问题、以及投身于这些问题的学界，值得这样的用心。尤其是 Boussinesq 和 Euler 的几份书面稿，更接近模型在人的指导下产出的东西，而不像一个人写的论文。尤其是 Euler 那份，只能用「AI 垃圾」来形容。对此我很抱歉。原因写在下面，涉及我们受到的外部压力。我这样说不是找借口，而是解释。

我原本打算在宣布成果时说：结果本身不是重点。重点在于，一个数学家加一个 LLM 模型，现在一个月就能做完这一切。这对我们如何培养学生、如何分配功劳、如何审稿、如何决定什么值得一个人用一生去关注，意义怎么说都不为过。这是一个「深蓝对卡斯帕罗夫」的时刻。学界需要认真、不慌不忙地讨论接下来往哪里走。可我没能写这些极其重要的进展，却发现自己在写另一件事。我想尽可能直白地把发生了什么讲清楚。

9 月 3 日星期四，有传言说 Anthropic 解决了一个重大公开问题，Levent 也收到消息，说我们进展的信息被传给了 OpenAI。于是我写信给 OpenAI 一位知名的数学家。我全文引用这封邮件，因为我宁愿大家读原文，而不是读我的概括：

「你好 [……]，我们没见过面，但我是 [……] 的讲者之一。我写信是因为，有个传言似乎传得很快，说 Anthropic 解决了一个重大公开问题。我不能确定传言说的是不是我，但昨天 Courant 的一位同事发邮件跟我提了这事，他是听英国一位分析师说的，而那位分析师又是从更上游的某处听来的，所以大概可以认为说的就是我。我听说科技圈里也在流传把 Levent Alpöge 和某个解答联系在一起的版本。不过，对于到底解决了哪个问题，似乎有很多混淆。

我还应该强调，这不是机构层面的工作。这完全是我们两人之间的个人合作，背后没有任何正式协议。我团队用的工具是我用自己的科研经费付的钱，其中包括付给 OpenAI 的一大笔账单。我以前有过一次业界合作，是和 DeepMind，那次有正式的机构安排。

我们在这个方向上确实有有把握的工作，很快会把论文和形式化证明一起发出来。我们有意决定不抢先放出一份 Lean 证书配一份没打磨的预印本。我坚持认为，任何人读到的第一样东西，应该是以常规方式呈现的数学论证，而不只是一份形式化证书。

我直接写信给你，而不是公开说什么，是为了让你掌握事实，好在你们那边处理这件事。祝好，Tristan」

他当天回复：「如果你愿意提供任何细节，会有助于我们在这件事上避免竞争；总的来说，看到数学家用我们的模型取得进展，我们总是很高兴。另外，如果在算力方面 OpenAI 这边能提供什么，我们很乐意。」

我提出下周再谈。9 月 4 日星期五，对方问我能不能当天见面；我又说下周。9 月 6 日星期日 12:45，对方问我能不能「今天任何时候」见面。Sebastien Bubeck 加入了。那天下午我们三个人谈了两次。Levent 不在通话里。

我被告知，OpenAI 的一个内部模型给出了有外力 Navier-Stokes 方程有限时间爆破的证明。Levent 发短信询问精确的表述，得到的回答是：「在 R³ 和 T³ 中存在有外力的爆破」，并且「外力函数光滑，对应 Fefferman 表述里的选项 c 和 d」。我被告知证明大约 100 页。我没有见过它。

这里我应该说明，我为什么会那样理解他们的说法，也就是下面要谈的那种理解。经由光滑外力通向克雷问题的路线，也就是 Fefferman 对这个问题的表述里的选项 c 和 d，正是 Luis 和 Diego 开辟、Levent 和我悄悄选定去攻的路线。据我所知，几乎没有别人在做。这不是给模型一个问题陈述、几天之内就能走到的方向。我听到「有外力」时，那是一面刺眼的红旗。

他们给我看了一个提示词，告诉我内部研究模型只是拿到了问题陈述。Sebastien 告诉 Levent，用了「极少的人工输入」。后来证明并非如此。在通话过程中，随着他们团队成员通过内部聊天给 Sebastien 发去更正和细节，情况逐渐清楚：一整个团队一直在做这个问题；这只是他们尝试的多件事之一；工作最初是从无外力问题开始的；团队先让模型做了更容易的问题，包括 Euler；就连给我看的那个提示词，也是通过给 Codex 写提示生成的；而且用了疯狂多的算力。

我问他们的第一个提示是什么时候发出的。OpenAI 有一段时间没有直接回答这个问题。最后双方认定，它是在过去几天里发出的，也就是在我们工作的信息传到 OpenAI 之后。

我问这个模型是否用我们在 Codex 里的会话训练过，或者能否访问这些会话；整个项目期间，我们把所有草稿都放在那里。我被告知模型不会查阅用户数据。我又问了一次训练的事，没有得到回答。

对方向我提了两个方案。第一个是我们发布 Euler 的结果，OpenAI 第二天发布它的 Navier-Stokes 结果。第二个是在发布 Euler 之后，由我一个人写一篇论文来介绍 Navier-Stokes 的结果，并承认是 OpenAI 的一个内部模型解决了它。Sebastien 两次坚称希望把 Levent 从作者中去掉，还说要不是 Levent 在 Anthropic 工作，一切都会很简单，这件事实在太烦人了。对方还说，如果 OpenAI 在我们之后发布，他们会说我们配得上克雷奖，说我们是「离这个问题最近的人类」。两个方案我都拒绝了。

我说，如果 OpenAI 按提议的方式发布结果，我会把发生的事公开。对方的回答是：「你为什么要毁掉自己的职业生涯？」我回答说我是学者，并问他为什么认为公开会毁掉我的职业生涯。对方的回答是：「如果你不想让我客气，那我就不必客气了。」

过了一段时间，Levent 收到一条短信，提议他和 Sebastien 单独谈，里面说：「我不知道 Tristan 现在是否完全理性。」Levent 拒绝了，说要谈就和我谈。当晚 Sebastien 又发来一封邮件，要求 9 月 7 日星期一和我谈。我没有回复。

我想说清楚，哪些是我没有主张的。我没有见过 OpenAI 的证明。我不知道他们的模型做了什么，怎么做的。我不知道我们的数据有没有被使用。我没有指控任何人任何事。我陈述的是我被告知了什么、什么时候被告知，以及对方向我提了什么。我之所以陈述，是因为另一种选择，是任由一连串的发布去说一件我知道是假的事。

如果 OpenAI 的模型确实补上了通向 Navier-Stokes 的这段距离，那是一件了不起的事，应该由他们大声说出来，同时保留完整的来龙去脉。我更愿意谈的是数学，是 Luis 和 Diego 的想法，以及这一切对我们其余的人意味着什么。

最后，我要感谢整个数学界，在过去 24 小时里给了我这么多支持。